Sociedade Portuguesa de Física

General Category => Discussão geral => Tópico iniciado por: FatimaMarques em Outubro 11, 2016, 07:40:08 pm

Título: Ordens de Grandeza
Enviado por: FatimaMarques em Outubro 11, 2016, 07:40:08 pm
No secundário quando se pergunta qual é a ordem de grandeza de um determinado número, por exemplo, 4x10^2, alguns livros deixam claro que a potência mais próxima é 10^2, mas como 4 é superior a 3,16 já vi considerarem 10^3. O que está certo e como se deve abordar no secundário?

1x10^2. A ordem de grandeza é 2 ou 10^2?
Título: Re: Ordens de Grandeza
Enviado por: Jantunes em Outubro 20, 2016, 04:35:34 pm
Olá,

eu não sei se existe algum consenso nessa matéria mas a definição que encontro é a potência de 10 mais próxima do número em questão.
No entanto alguns autores referem a comparação com a potencia média entre 10^0 e 10^1 ou seja 10^0.5, assim qualquer número cuja mantissa fosse superior a 10^0.5 (3.16), somaria mais uma unidade ao expoente.

Também não sei responder a essa questão, no entanto julgo que em questão de exame não serão colocados valores cuja mantissa esteja no intervalo entre 3.16 a 5.5, pois poderia criar alguma ambiguidade.
Título: Re: Ordens de Grandeza
Enviado por: Helena Vieira Alberto em Outubro 29, 2016, 11:00:43 pm
Ordem de grandeza é um conceito usado no cálculo de estimativas e não em cálculos exatos. Por isso mesmo não existem convenções universais para seguir de forma literal. A esse propósito, vale a pena consultar “Goldreich, Peter, Sanjoy Mahajan, and Sterl Phinney. "Order-of-Magnitude Physics: Understanding the World with Dimensional Analysis, Educated Guesswork, and White Lies." University of Cambridge (1999)” , disponível no link http://www.inference.phy.cam.ac.uk/sanjoy/oom/book-letter.pdf. Neste livro são usadas situações concretas para ilustrar como fazer cálculos aproximados, porque só em situações concretas sabemos avaliar o que é mais razoável. Os exemplos escolhidos são pensados para estudantes universitários, mas a abordagem do livro pode ser adaptada ao secundário.

Ainda assim, há expressões cujo significado é consensual. Como a representação de um número se faz usualmente na base 10, ao comparar dois números diferentes, dizemos que “dois números diferem de uma ordem de grandeza”, se o quociente entre eles for aproximadamente 10. Se nos referirmos a um número isoladamente, a ordem de grandeza de um número é a potência de 10 mais próxima e a forma mais clara de a expressar é escrever 10^n. Assim, para 1x10^2 dizemos que a ordem de grandeza é 10^2 ou “ a ordem de grandeza é a centena”. Mas se compararmos 1x10^2 com 1x10^5 dizemos que diferem de três ordens de grandeza, ou seja, há um fator de 10^3 entre ambos.

A questão colocada sobre a ordem de grandeza de 4x10^2 diz respeito ao critério para determinar a potência de 10 mais próxima. Consideremos dois critérios possíveis: i) escrever o número na notação científica, isto é como A x 10^n em que A é um fator entre 1 e 10; adotar 10^n como ordem de grandeza do número. ii) calcular o logaritmo decimal do número, arredondar para o inteiro n mais próximo e tomar como ordem de grandeza 10^n. No caso de 4x10^2 os dois critérios conduzem a resultados diferentes. O que fazer?

É importante não perder de vista que o conceito de ordem de grandeza é usado no cálculo de estimativas e é essencial usar a nossa razoabilidade e sentido crítico nas situações concretas em consideração. Se pretendermos simplesmente substituir um número pela potência de 10 mais próxima, numa escala linear, é inequívoco que, 4x10^2=400 é mais próximo de 100 do que de 1000 e por isso a ordem de grandeza deve ser 100=10^2 e não 10^3 como o critério ii) indica, com base numa escala logarítmica. O critério i) também deve ser usado com cuidado, porque, por ex., 99 e 110 são ambos mais próximos de 100 do que de 10 ou de 1000, ou seja são ambos da ordem de grandeza da centena (ou de 10^2); no entanto, em notação científica escrevem-se como 9,9x10^1 e 1,1x10^2 e a utilização acrítica do critério i) conduz a um resultado absurdo. Se estamos a usar uma escala linear, o melhor critério será escrever um número na forma B x10^n onde B é um número entre 0,55 e 5,4 e tomar 10^n como a ordem de grandeza do número.

No entanto, há situações concretas em que a escala logarítmica é a mais adequada para fazer estimativas. Por exemplo, suponhamos que um visitante não europeu tenta adivinhar qual a nota de euros que representa a quantia mais elevada de dinheiro a circular na zona euro. Existem notas de 5, 10, 20, 50, 100, 200 e 500 euros, ou seja há duas ordens de grandeza entre o valor mínimo e o valor máximo. Na ausência de mais informação, o visitante tenderá a escolher, em primeira aproximação, um valor médio entre 5 e 500. As notas não são igualmente espaçadas numa escala linear, mas são aproximadamente equidistantes numa escala logarítmica (log200-log100=log20-log10 <=> 200/100=20/10, por ex). Na verdade, o valor das notas de euro é sempre um múltiplo de 5 euros. O valor médio na escala logarítmica é, neste caso, uma estimativa melhor do que a média aritmética numa escala linear. A média aritmética conduz-nos a (5+500)/2~250, que é claramente demasiado elevado. O cálculo na escala logarítmica conduz-nos à chamada média geométrica, que neste caso é (5x500)^(1/2) =50 (pois (log5+log500)/2=log((5x500)^(1/2))=log(50)). De acordo com os dados do Banco Central Europeu, em 2013 as notas de 50 euros representavam cerca de 42% do valor total em circulação na zona euro.

Retomando a questão de como determinar a potência de 10 mais próxima, num intervalo entre 1 e 10 o ponto médio, numa escala linear, é dado pela média aritmética (1+10)/2=5,5; numa escala logarítmica, é dado pela média geométrica (1x10)^(1/2)=3,16. Quando comparamos distâncias entre cidades, a escala linear é a mais adequada, quando discutimos intensidades de sismos ou níveis sonoros a escala logarítmica é a escolha acertada. O melhor critério depende sempre do caso concreto em consideração.